题目内容
如图,在三棱锥中,侧面
与底面
垂直,
分别是
的中点,
,
,
.
(1)若点在线段
上,问:无论
在
的何处,是否都有
?请证明你的结论;
(2)求二面角的平面角的余弦.
(1)详见解析;(2)
解析试题分析:(1)考虑直线和直线垂直,只需考虑直线和平面垂直即可,由已知,故可将
转移到判断
,只需考虑
是否垂直于面
,由已知得
,故只需说明
,进而只需说明
面
,由已知侧面
与底面
垂直,且
,易证;(2)先将二面角
的平面角找到,再求,由(1)得
面
,则
,
,故
是所求的角,在
求解即可.
试题解析:(1)在△SAB中,∵OE∥AS,∠ASC=90°∴OE⊥SC
∵平面SAC⊥平面ABC,∠BCA=90°,∴BC⊥平面ASC,OE?平面ASC,
∴BC⊥OE∴OE⊥平面BSC,∵SF?平面BSC
∴OE⊥SF所以无论F在BC的何处,都有OE⊥SF
(2)由(1)BC⊥平面ASC∴BC⊥AS,又∵∠ASC=90°∴AS⊥SC
∴AS⊥平面BCS,∴AS⊥SB,∴∠BSC是二面角B-AS-C的平面角
在Rt△BCS中,,所以二面角B-AS-C的平面角的余弦值为
…
考点:1、直线和平面垂直的判定和性质;2、面面垂直的性质;3、二面角.
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