题目内容
(如图1)在平面四边形中,
为
中点,
,
,且
,现沿
折起使
,得到立体图形(如图2),又B为平面ADC内一点,并且ABCD为正方形,设F,G,H分别为PB,EB,PC的中点.
(1)求三棱锥的体积;
(2)在线段PC上是否存在一点M,使直线与直线
所成角为
?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
(1);(2)存在,
.
解析试题分析:本题考查空间两条直线的位置关系、异面直线所成的角、直线与平面垂直和平行等基础知识,考查用空间向量解决立体几何中的问题,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问,先用三角形中位线,证,所以利用线面平行的判定定理,得出
平面
,同理:
平面
,把
与
的夹角转化为
与
的夹角,利用面面平行,转化
到平面
的距离为
到平面
的距离,易得出距离为1,最后求转化后的
;第二问,由已知建立空间直角坐标系,写出各点坐标,用反证法,先假设存在,假设
,求出向量
和
坐标,用假设成立的角度,列出夹角公式,解出
,如果
有解即存在,否则不存在,并可以求出
的坐标及
.
试题解析:(1)因为分别为
的中点,所以
.又
平面
,
平面
,所以
平面
,同理:
平面
.
试题解析:(1)∵,∴
平面
.同理:
,∴
平面
,因为
分别为
的中点,所以
平面
.
同理:平面
,且
,
∴与
的夹角等于
与
的夹角(设为
)
易求. 4分
∵平面平面
,∴
到平面
的距离即
到平面
的距离,过
作
的垂线,垂足为
,则
为
到平面
的距离.
, 7分
(2)假设在线段存在一点
,使直线
.取
的中点
,连
,设
,

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