题目内容

设a是正数,ax+y=2(x≥0,y≥0),记y+3x-
1
2
x2的最大值是M(a),试求:
(1)M(a)的表达式;(2)M(a)的最小值.
(1)设S(x)=y+3x-
1
2
x2,将y=2-ax代入消去y,得:
S(x)=2-ax+3x-
1
2
x2
=-
1
2
x2+(3-a)x+2
=-
1
2
[x-(3-a)]2+
1
2
(3-a)2+2(x≥0)
∵y≥0∴2-ax≥0
而a>0∴0≤x≤
2
a

下面分三种情况求M(a)
(i)当0<3-a<
2
a
(a>0),即
0<a<3
a2-3a+2>0

解得0<a<1或2<a<3时
M(a)=S(3-a)=
1
2
(3-a)2+2
(ii)当3-a≥
2
a
(a>0)即
a>0
a2-3a+2≤0
时,
解得:1≤a≤2,这时
M(a)=S(
2
a
)=2-a•+3•
2
a
-
1
2
(
2
a
)
2
=-
2
a2
+
6
a

(iii)当3-a≤0;即a≥3时
M(a)=S(0)=2
综上所述得:
M(a)=
1
2
(3-a)2+2(0<a<1)
-
2
a2
+
6
a
1≤a≤2
1
2
(3-a)2+2(2<a<3)
2(a≥3)


(2)下面分情况探讨M(a)的最小值.
当0<a<1或2<a<3时
M(a)=
1
2
(3-a)2+2>2
当1≤a≤2时
M(a)=-
2
a2
+
6
a
=-2(
1
a
-
3
2
2+
9
2

∵1≤a≤2⇒
1
2
1
a
≤1
∴当
1
a
=
1
2
时,M(a)取小值,即
M(a)≥M(2)=
5
2

当a≥3时,M(a)=2
经过比较上述各类中M(a)的最小者,可得M(a)的最小值是2.
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