Question

【题目】已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝4．线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C．

（1）求抛物线E的方程；

（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝6x（2）．

【解析】

（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；

（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.

（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝6x；

（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则，

y0，kAB，

则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0（x﹣2），①

可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，

且点C（5，0），由①可得直线AB的方程为y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2 ②

代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0 ③，

由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，

所以△＝4y02﹣4（2y02﹣12）＝﹣4y02+48＞0，解得﹣2y0＜2，

|AB|

，

又C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|，

所以S△ABC|AB|h

，

当且仅当9+y02＝24﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），

或A（，），B（，）时等号成立，

所以S△ABC的最大值为．