Question

（选修4-4：坐标系与参数方程）
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，单位长度保持一致建立极坐标系，已知点M的极坐标为（4

2

，

π

4

），曲线C的参数方程为

x=1+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数）．
（1）求直线OM的直角坐标方程；
（2）求点M到曲线C上的点的距离的最大值．

Answer 1

分析：（1）将点M的极坐标（4

2

，

π

4

）转化为直角坐标，即可求得直线OM的直角坐标方程；
（2）将曲线C的参数方程转化为普通方程为（x-1）²+y²=2，利用点M（4，4）在曲线C外，从而可求得点M到曲线C上的点的距离的最大值．

解答：解：（1）由点M的极坐标为（4

2

，

π

4

），设点M的直角坐标为（x₀，y₀），
则x₀=4

2

cos

π

4

=4，y₀=4

2

sin

π

4

=4，
∴点M的直角坐标为（4，4），
∴直线OM的直角坐标方程为y=x．
（2）将曲线C的参数方程

x=1+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（θ为参数），
消掉参数θ，化成普通方程为：（x-1）²+y²=2，
圆心为A（1，0），半径为r=

2

．
又点M在曲线C外，
∴点M到曲线C上的点的距离的最大值为|MA|+r=5+

2

．

点评：本题考查极坐标化直角坐标，考查参数方程化成普通方程，着重考查直线与圆的位置关系，考查分析、运算能力，属于中档题．