Question

【题目】如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点， ．
（Ⅰ）λ为何值时，MN∥平面ABC？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当 ，即M为AF中点时MN∥平面ABC． 事实上，取CD中点P，连接PM，PN，
∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，
∵AC平面ABC，MP平面ABC，∴MP∥平面ABC．
由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，
又DE∥BC，∴NP∥BC，
∵BC平面ABC，NP平面ABC，∴NP∥平面ABC．
∴平面MNP∥平面ABC，则MN∥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中点O，连OA，OE，
∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，
∵OC= ，BC∥ED，∴OE∥CD，
又CD⊥BC，∴OE⊥BC．
分别以OE，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
则A（0，0， ），C（0，1，0），E（1，0，0）， ，
∴F（1， ， ），M（ ， ， ），N（ ）．
设 为平面BMN的法向量，则
，取z=1，得 ．
cos＜ ＞= ．
∴直线AN与平面MNB所成角的正弦值为 ．

【解析】 （Ⅰ）取CD中点P，连接PM，PN，可得MP∥AC，则MP∥平面ABC．再由已知证明NP∥平面ABC．得到平面MNP∥平面ABC，则MN∥平面ABC；（Ⅱ）取BC中点O，连OA，OE，可证AO⊥BC，OE⊥BC．分别以OE，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面BMN的法向量，求出＜ ＞的余弦值，即可得到直线AN与平面MNB所成角的正弦值．