题目内容
【题目】如图,是边长为
的正方形,
平面
,
,
,
与平面
所成角为
.
(Ⅰ)求证:平面
.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)设点是线段
上一个动点,试确定点
的位置,使得
平面
,并证明你的结论.
【答案】(1)见解析(2)(3)点
是线段
靠近
点的三等分点.
【解析】试题分析:(1)由正方形性质得,由
平面
得
,再根据线面垂直判定定理得
平面
(2)利用空间向量求二面角:先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系求二面角(3)设点
坐标,根据
平面
得
,列方程解得点
坐标,再确定位置
试题解析:(Ⅰ)证明:∵平面
,
平面
,
∴,
又∵是正方形,
∴,
∵,
∴平面
.
(Ⅱ)∵,
,
两两垂直,所以建立如图空间直角坐标系
,
∵与平面
所成角为
,即
,
∴,
由,可知:
,
.
则,
,
,
,
,
∴,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,则
.
因为平面
,所以
为平面
的法向量,
∴,
所以.
因为二面角为锐角,
故二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)依题意得,设,
则,
∵平面
,
∴,即
,解得:
,
∴点的坐标为
,
此时,
∴点是线段
靠近
点的三等分点.
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