Question

6．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）．
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）在（-∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）得出x²-2ax+3＞0，利用二次函数性质求解
（2）判断出y=x²-2ax+3图象不能在x轴上方，根据二次函数得出△=4a²-12＞0，
（3）利用复合函数单调性，定义域等转化为：$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{1-2a+3＞0}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）．
（1）∵函数f（x）的定义域为R
∴x²-2ax+3＞0，即△=4a²-12＜0
$-\sqrt{3}$$＜a＜\sqrt{3}$
故实数a的取值范围：（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）
（2）∵函数f（x）的值域为R，
∴y=x²-2ax+3图象不能在x轴上方，
故△=4a²-12≥0，
即a≤$-\sqrt{3}$或a≥$\sqrt{3}$，
实数a的取值范围（-∞，$-\sqrt{3}$]∪[$\sqrt{3}$，+∞）
（3）∵函数f（x）在（-∞，1]上为增函数，
根据复合函数的单调性得出不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{1-2a+3＞0}\end{array}\right.$
即1≤a＜2

点评 本题考察了对数函数的性质，二次函数图象性质，不等式问题，属于综合问题，关键理解转化问题．