Question

12．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n=4a_n-1+2ⁿ，n∈N^*，且n≥2．
（1）求证：数列{a_n+2ⁿ}为等比数列；
（2）若S_n为数列{a_n}的前n项和，设b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$，n∈N*，证明：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n=4a_n-1+2ⁿ变形可知a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），进而即得结论；
（2）通过（1）得a_n=4ⁿ-2ⁿ，通过变形可知S_n=$\frac{2}{3}$•（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1），裂项可知b_n=$\frac{3}{2}$•（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），进而并项相加、放缩即得结论．

解答 证明：（1）∵a_n=4a_n-1+2ⁿ，
∴a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），
又∵a₁+2¹=2+2=4，
∴数列{a_n+2ⁿ}是首项、公比均为4的等比数列；
（2）由（1）得：a_n+2ⁿ=4ⁿ，∴a_n=4ⁿ-2ⁿ，
∴S_n=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-2ⁿ）-$\frac{1}{3}$•2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$
=$\frac{1}{3}$•（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ⁺¹-2）
=$\frac{2}{3}$•（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1），
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$
=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n}-1）}$
=$\frac{3}{2}$•（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．