Question

17．设函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象与直线y=a在y轴右侧从左到右第n个交点的横坐标为a_n，且数列{a_n}是等差数列，则a的取值集合为{0，2，-2}．

Answer 1

分析 函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象是由y=sinx向右平移个$\frac{π}{3}$单位，然后把所得图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{2}$，再把振幅扩大到原来的2倍得到的，图象与轴交点的横坐标相差半个周期的整数倍，各最大值（或最小值）点的横坐标相差一个周期的整数倍．

解答 解：根据函数的图象周期变化的特点，采用验证的办法，①取a=0时，直线方程为y=0，图象为x轴，
函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象与x轴在y轴右侧第一个交点横坐标a₁=$\frac{π}{6}$，向右顺次加半个周期$\frac{π}{2}$，
所以直线y=0与函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象在y轴右侧的第n（n∈N^*）个交点的横坐标为a_n构成等差数列．
②取a=2时，直线方程为y=2，与函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象在y右侧第一个交点的横坐标为a₁=$\frac{5π}{12}$，向右顺次加一个周期π，
所以直线y=2与函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象在y轴右侧的第n（n∈N^*）个交点的横坐标为a_n构成等差数列．
③取a=-2时，直线方程变为y=-2，与函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象在y右侧第一个交点的横坐标为a₁=$\frac{11}{12}$π，向右顺次加一个周期π，
所以直线y=2与函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象在y轴右侧的第n（n∈N^*）个交点的横坐标为a_n构成等差数列．
④当a取其它值时，根据正弦函数的图象特征，数列{a_n}不是等差数列．
故a的取值的集合为 {0，2，-2}，
故答案为：{0，2，-2}．

点评 本题考查了等差数列的概念，考查了数形结合的思想方法，解决该题的关键是熟悉函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，明确图象上各特殊点之间的关系，属于中档题．