Question

9．设?x∈[-1，1]，不等式x$\sqrt{3a-{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$都成立，则实数a的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 讨论当-1≤x≤0时，当0＜x≤1时，由参数分离和基本不等式可得a的范围；再由3a-x²≥0恒成立，可得a的范围，进而求得a的值．

解答 解：当-1≤x≤0时，不等式x$\sqrt{3a-{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$都成立；
当0＜x≤1时，不等式x$\sqrt{3a-{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$即为：
3a-x²≤$\frac{1}{4{x}^{2}}$，即3a≤x²+$\frac{1}{4{x}^{2}}$在0＜x≤1时恒成立，
由x²+$\frac{1}{4{x}^{2}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}•\frac{1}{4{x}^{2}}}$=1，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最小值1．
即有3a≤1，解得a≤$\frac{1}{3}$；
又3a-x²≥0恒成立，则3a≥x²的最大值，即有3a≥1，
解得a≥$\frac{1}{3}$．
综上可得a=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和参数分离，求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．