题目内容
6．已知n∈N*，设函数fn（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+…+（-1）n•$\frac{{x}^{n}}{n}$（x∈R）．函数φ（x）=f3（x）+ax2的图象在点B（1，φ（1））处的切线的斜率为1．（1）求a的值．
（2）求z的取值范围，使不等式φ（x）≤z对于任意x∈[0，2]恒成立；
（3）证明：存在无数个n∈N*，对任意给定的两个不同的x1，x2必有fn（x1）=fn（x2）成立．
分析 （1）求得函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=1；
（2）由题意可得z≥（1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+x2）max，求得导数和单调区间，可得最值，即可得到所求范围；
（3）讨论n为偶数时，函数fn（x）的导数和单调区间，即可得证．
解答 解：（1）函数φ（x）=f3（x）+ax2=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+ax2，
导数为φ′（x）=-1+x-x2+2ax，
在点B（1，φ（1））处的切线的斜率为-1+1-1+2a=1，
解得a=1；
（2）不等式φ（x）≤z对于任意x∈[0，2]恒成立，即为：
z≥（1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+x2）max，
由φ′（x）=-1+3x-x2，可得0＜x＜$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，φ′（x）＜0，φ（x）递减，
在$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜x＜2，φ′（x）＞0，φ（x）递增．
即有x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，取得最小值，x=2时取得最大值，且为$\frac{7}{3}$．
则有z≥$\frac{7}{3}$；
（3）证明：当n为偶数时，函数fn（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n}$（x∈R）．
导数为fn′（x）=-1+x-x2+x3-x4+…+xn-1=（x-1）（1+x2+x4+…+xn-2），
即有x＞1时，fn′（x）＞0，fn（x）递增；x＜1时，fn′（x）＜0，fn（x）递减．
则存在无数个n∈N*，且n为偶数时，
对任意给定的两个不同的x1，x2必有fn（x1）=fn（x2）成立．
点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题和存在性问题的解法，注意运用导数求单调区间和最值，考查运算能力，属于中档题．
高中必刷题系列答案| A． | 向左平移$\frac{π}{6}$ | B． | 向右平移$\frac{π}{3}$ | C． | 向左平移$\frac{5π}{6}$ | D． | 向右平移$\frac{2π}{3}$ |
| A． | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ | B． | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | C． | -$\frac{\sqrt{5}}{5}$ | D． | -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ |
| A． | 0 | B． | -1 | C． | 3 | D． | -3 |