Question

2．已知定义在R上奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且x∈（0，1]时，f（x）=2^x，求值：
（1）f（98）=0；
（2）f（$\frac{17}{2}$）=$\sqrt{2}$；
（3）f（$\frac{100}{3}$）=$\root{3}{4}$；
（4）f（log₂18）=$\frac{9}{4}$；
（5）f（2015）=-2．

Answer 1

分析 f（x+2）=-f（x），得函数f（x）是周期为4的周期函数，利用函数的奇偶性和周期性进行转化即可．

解答 解：由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，
当x∈（0，1]时，f（x）=2^x，
则（1）f（98）=f（100-2）=f（-2），
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
∵f（x+2）=-f（x），∴f（x）=-f（x+2），即f（-2）=-f（-2+2）=-f（0）=0，
则f（98）=f（-2）=0；
（2）f（$\frac{17}{2}$）=f（8+$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$；
（3）f（$\frac{100}{3}$）=f（$\frac{100}{3}$-4×8）=f（$\frac{4}{3}$）=f（-$\frac{2}{3}$+2）=-f（-$\frac{2}{3}$）=f（$\frac{2}{3}$）=${2}^{\frac{2}{3}}$=$\root{3}{4}$；
（4）∵4＜log₂18＜5，
∴0＜log₂18-4＜1，
则f（log₂18）=f（log₂18-4）=f（log₂$\frac{18}{16}$）=f（log₂$\frac{9}{4}$）=${2}^{lo{g}_{2}\frac{9}{4}}$=$\frac{9}{4}$；
（5）f（2015）=f（504×4-1）=f（-1）=-f（1）=-2，
故答案为：0；$\sqrt{2}$；$\root{3}{4}$；$\frac{9}{4}$；-2

点评 本题主要考查函数值的计算，利用条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和奇偶性的关系进行转化是解决本题的关键．