题目内容

【题目】已知函数f(x)=|x﹣1|+|x+a|,其中a为实常数.
(1)若函数f(x)的最小值为2,求a的值;
(2)当x∈[0,1]时,不等式|x﹣2|≥f(x)恒成立,求a的取值范围.

【答案】
(1)解:∵f(x)=|x﹣1|+|x+a|≥|(x﹣1)﹣(x+a)|=|a+1|,

当且仅当(x﹣1)(x+a)≤0时取等号,

∴f(x)min=|a+1|,

由|a+1|=2,解得:a=1或a=﹣3;


(2)解:当x∈[0,1]时,f(x)=﹣x+1+|x+a|,

而|x﹣2|=﹣x+2,

由|x﹣2|≥f(x)恒成立,

得﹣x+2≥﹣x+1+|x+a|,

即|x+a|≤1,解得:﹣1﹣a≤x≤1﹣a,

由题意得[0,1][﹣1﹣a,1﹣a],

,即﹣1≤a≤0


【解析】(1)求出f(x)的最小值,得到|a+1|=2,解出a的值即可;(2)问题转化为|x+a|≤1,求出x的范围,结合集合的包含关系得到关于a的不等式组,解出即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.

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