题目内容
【题目】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若任意的a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,总有.
(1)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;
(2)解不等式:;
(3)若f(x)≤m2-2pm+1对所有的x∈[-1,1]恒成立,其中p∈[-1,1](p是常数),试用常数p表示实数m的取值范围.
【答案】(1)在
上是增函数,证明如下:
任取,且
,则
,于是有
,而
,故
,故
在
上是增函数
(2).
(3)由(1)知最大值为
,所以要使
对所有的
恒成立,只需
成立,即
成立.
①当时,
的取值范围为
;
②当时,
的取值范围为
;
③当时,
的取值范围为R.
【解析】
(1)在
上是增函数,证明如下:
任取,且
,则
,于是有
,而
,故
,故
在
上是增函数
(2)由在
上是增函数知:
,
故不等式的解集为.
(3)由(1)知最大值为
,所以要使
对所有的
恒成立,只需
成立,即
成立.
①当时,
的取值范围为
;
②当时,
的取值范围为
;
③当时,
的取值范围为R.
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