Question

9．已知函数y=$\sqrt{m{x}^{2}-6mx+9m+8}$的定义域是R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由函数y=$\sqrt{m{x}^{2}-6mx+9m+8}$的定义域是R，可得对任意的实数x，mx²-6mx+9m+8≥0恒成立，然后分m=0和m≠0分类求解，当m≠0时，只要二次三项式
mx²-6mx+9m+8对应的二次函数开口向上，且判别式小于等于0即可．

解答 解：∵函数y=$\sqrt{m{x}^{2}-6mx+9m+8}$的定义域是R，
∴对任意的实数x，mx²-6mx+9m+8≥0恒成立，
当m=0时，mx²-6mx+9m+8=8≥0恒成立；
当m≠0时，要使mx²-6mx+9m+8≥0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=（-6m）^{2}-4m（9m+8）≤0}\end{array}\right.$，解得：m＞0．
综上，使函数y=$\sqrt{m{x}^{2}-6mx+9m+8}$的定义域是R的实数m的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，训练了利用“三个二次”结合求参数的范围，是基础题．