题目内容
1．求下列函数的值域：（1）y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$；
（2）y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$．
分析 求出两个函数的定义域，都用函数y=x-$\frac{1}{x}$的单调性求解．
解答 解：（1）函数y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$的定义域为{x|x≠±1}．
当x=0时，y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$=0；
当x≠0时，y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-\frac{1}{x}}$，
∵y=$x-\frac{1}{x}$在（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）上为增函数，
∴$x-\frac{1}{x}$的范围为（-∞，0）∪（0，+∞），
∴y=$\frac{1}{x-\frac{1}{x}}$的范围为（-∞，0）∪（0，+∞），
综上，函数y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$的值域为R；
（2）y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$的定义域为{x|x≠0}．
由y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=x-$\frac{1}{x}$在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数，
∴y=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$的值域为R．
点评 本题考查函数的值域的求法，考查了利用函数的单调性求函数的值域，该题的解答，体现了极限思想的运用，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
10．
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A，B两种不同的数学方式对甲、乙两个班进行教学实验，为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下：（记成绩不低于90分者为“成绩优秀”）．
（1Ⅰ）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中不放回地抽取2次，每次抽取1个，求在第1次抽取的成绩低于90分的前提下，第2次抽取的成绩仍低于90分的概率；
（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩优秀”与数学方式有关？
独立性检验临界值表：
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A，B两种不同的数学方式对甲、乙两个班进行教学实验，为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下：（记成绩不低于90分者为“成绩优秀”）．（1Ⅰ）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中不放回地抽取2次，每次抽取1个，求在第1次抽取的成绩低于90分的前提下，第2次抽取的成绩仍低于90分的概率；
（Ⅱ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩优秀”与数学方式有关？
| 甲班 | 乙班 | 合计 | |
| 优秀 | |||
| 不优秀 | |||
| 合计 |
| P（K2≥k） | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 01010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.027 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |