Question

14．已知函数y=f（x）的定义域为（0，2），且对于任意正数m，都有f（x+m）＜f（x），求满足f（2-a）＜f（a²）的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由对于任意正数m，都有f（x+m）＜f（x），可得f（x）的单调性，由单调性把 f（2-a）＜f（a²）化为2-a＞a²，再由定义域为（0，2）0＜2-a＜2，0＜a²＜2，联立方程组可求实数a的取值范围．

解答 解：由对于任意正数m，都有f（x+m）＜f（x），可得f（x）是定义域内的单调减函数，
∵f（x）在（0，2）内单调递减，且 f（2-a）＜f（a²），
∴2-a＞a²，即a²+a-2＜0 ①，
又f（x）的定义域为（0，2），
∴0＜2-a＜2 ②，
0＜a²＜2 ③，
联立①②③解得0＜a＜1．
∴满足f（2-a）＜f（a²）的实数a的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查函数的单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，属基础题．