Question

20．已知函数f（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1在（0，3）上不单调，求k的取值范围．

Answer 1

分析 解法一：若函数为增函数，则导数大于0，若函数为减函数，则导数小于0，因为函数f（x）在区间（0，3）上不是单调函数，所以导数既有正值也有负值，也即f′（x）=0有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间（0，3）内，再分四种情况：①一个实根在x=0取得，一个实根在区间（0，3）内；②一个实根在x=3取得，一个实根在区间（0，3）内；③一个实根在区间（0，3）内，另一个实根在区间[0，3]外；④在区间（0，3）内有两个不相等的实根，分别讨论k的取值范围即可．
解法二：同解法一，可知，f′（x）=0有实数根，且△≠0，所以?x∈（0，3），使得k（2x+1）=-（3x²-2x+5）成立，即?x∈（0，3），使得k=-$\frac{{3x}^{2}-2x+5}{2x+1}$成立，利用导数求出$\frac{{3x}^{2}-2x+5}{2x+1}$的范围，也即k的范围，再与△≠0解得的k的范围取交集即可．

解答 解法一：f′（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5），
∵函数f（x）在区间（0，3）上不是单调函数的充要条件是关于x的方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，
且至少有一个实数根在区间（0，3）内．
即3x²+2（k-1）x+（k+5）=0有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间（0，3）内．
①若f′（0）=k+5=0，则k=-5，f′（x）=3x²-12x=3x（x-4）．
方程f′（x）=0的两个实根0，4均不在区间（0，3）内，所以k≠-5．
②若f′（3）=7k+26=0，则k=-$\frac{26}{7}$，f′（x）=3（x-3）（x-$\frac{1}{7}$）．
方程f′（x）=0在区间（0，3）内有实根$\frac{1}{7}$，所以k可以为-$\frac{26}{7}$，
③若方程f′（x）=0有一个实根在区间（0，3）内，另一个实根在区间[0，3]外，
则f′（0）f′（3）＜0，即（k+5）（7k+26）＜0，-5＜k＜-$\frac{26}{7}$，
④若方程f′（x）=0在区间（0，3）内有两个不相等的实根，
则：$\left\{\begin{array}{l}{f′（3）=7k+26＞0}\\{f′（0）=k+5＞0}\\{0＜-\frac{k-1}{3}＜3}\\{△={4（k-1）}^{2}-12（k+5）＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞-\frac{26}{7}}\\{k＞-5}\\{-8＜k＜1}\\{（k+2）（k-7）＞0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{26}{7}$＜k＜-2；
综合①②③④得k的取值范围是（-5，-2）
解法二：f′（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5），
函数f（x）在区间（0，3）上不是单调函数的充要条件是关于x的方程3x²+2（k-1）x+（k+5）=0
在区间（0，3）上有实根且△=4（k-1）²-12（k+5）≠0
关于x的方程3x²+2（k-1）x+（k+5）=0在区间）0，3）上有实根的充要条件是
?x∈（0，3），使得k（2x+1）=-（3x²-2x+5）
∴?x∈（0，3），使得k=-$\frac{{3x}^{2}-2x+5}{2x+1}$=-$\frac{3}{4}$[（2x+1）+$\frac{9}{2x+1}$-$\frac{10}{3}$]
令t=2x+1，有t∈（1，7），记h（t）=t+$\frac{9}{t}$，H′（t）=1-$\frac{9}{{t}^{2}}$=$\frac{（t+3）（t-3）}{{t}^{2}}$，
由h′（t）＜0，得1＜t＜3，由h′（t）＞0，得3＜t＜7
∴函数h（t）在[1，3]上单调递减，在[3，7]上单调递增，
∴有h（t）∈[6，10]，
即k=-$\frac{3}{4}$[h（t）-$\frac{10}{3}$]∈（-5，-2]．
又由△=4（k-1）²-12（k+5）≠0，得k≠-2，且k≠7
故k的取值范围是（-5，-2）．

点评 本题考查了函数的单调区间与导数的关系，以及恒成立问题的解法，是一道综合题．