Question

16．已知函数f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b的定义域为[0，$\frac{π}{2}$]，值域为[-5，1]．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数g（x）=-4asin（bx-$\frac{π}{3}$）的最小值并求出对应x的集合．

Answer 1

分析 （1）由x的取值范围，求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，从而求出2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值范围；讨论a＞0、a＜0时，函数f（x）的最值问题，从而求出a和b的值．
（2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，根据正弦函数的性质即可求出．

解答 解：（1）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2，
当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{2a+2a+b=1}\\{-a+2a+b=-5}\end{array}\right.$解得a=2，b=-7，
当a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{-2a+2a+b=1}\\{a+2a+b=-5}\end{array}\right.$，解得a=-2，b=1，
（2）当a=2，b=-7时，g（x）=-8sin（-7x-$\frac{π}{3}$）=8sin（7x+$\frac{π}{3}$），
其最小值为-8，7x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=-$\frac{5π}{42}$+$\frac{2kπ}{7}$，k∈Z，对应x的集合为{x|x=-$\frac{5π}{42}$+$\frac{2kπ}{7}$，k∈Z}，
当a=-2，b=1时，g（x）=-8sin（x-$\frac{π}{3}$）=-8sin（x-$\frac{π}{3}$），
其最小值为-8，x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=$\frac{5}{6}$π+2kπ，k∈Z，对应x的集合为{x|x=$\frac{5}{6}$π+2kπ，k∈Z}．

点评 本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a和b的值．