题目内容

11.函数y=x+$\frac{5}{x+1}$(x≥2)取得最小值时的x的值为(  )
A.$\sqrt{5}-1$B.2C.$\sqrt{5}$D.$\sqrt{5}+1$

分析 先将函数配成(x+1)+$\frac{5}{x+1}$的形式,再运用基本不等式最值,根据取等条件得到函数的单调区间,从而确定x的值.

解答 解:y=x+$\frac{5}{x+1}$=(x+1)+$\frac{5}{x+1}$-1,
∵(x+1)+$\frac{5}{x+1}$≥2$\sqrt{5}$,
∴当且仅当:x=$\sqrt{5}$-1时,取得最小值,
所以,函数y在x∈[$\sqrt{5}$-1,+∞)上单调递增,x∈(-1,$\sqrt{5}$-1)上递减,
由于x≥2,所以,函数y=x+$\frac{5}{x+1}$在区间[2,+∞)上单调递增,
因此,当x=2时,函数取得最小值$\frac{11}{3}$,
故选:B.

点评 本题主要考查了运用基本不等式求函数的最值,以及取等条件和单调性的分析,属于基础题.

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