Question

5．若${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展开式的二项式系数之和为128，则${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

Answer 1

分析 由条件利用二项式系数的性质求得n=7，根据${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$=${（\sqrt{x}-\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{7}$的展开式的通项公式，求得二项式系数最大的项和系数最大的项．

解答 解：由${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$的展开式的二项式系数之和为2ⁿ=128，∴n=7．
${（\sqrt{x}-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$=${（\sqrt{x}-\frac{1}{\root{3}{x}}）}^{7}$的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（-1）^r•${x}^{\frac{7}{2}-\frac{5r}{6}}$，
故二项式系数最大的项为第四项和第五项：T₄=-${C}_{7}^{3}$•x，T₅=${C}_{7}^{4}$•${x}^{\frac{1}{6}}$；
系数最大的项为第五项T₅=${C}_{7}^{4}$•${x}^{\frac{1}{6}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．