Question

9．已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＜0，f（1）=4．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）当x∈[-2，2]时，函数f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=0，则可得f（0）=0；再令y=-x，即可证明f（x）是奇函数；
（Ⅱ）利用函数单调性的定义结合x＜0时，f（x）＜0，可得函数为增函数，再由f（1）=4，得到f（x）在[-2，2]上有最大值和最小值，得到答案．

解答 解：（Ⅰ）∵对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），
解得：f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
即函数y=f（x）是奇函数；
（Ⅱ）任取两个自变量x₁，x₂且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∵当x＜0时，f（x）＜0，
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
故x∈[-2，2]时，当x=2时，函数取最大值f（2）=f（1）+f（1）=8，
当x=-2时，函数取最小值-8．

点评 本题考查的知识点是抽象函数，函数单调性与性质，是对函数性质及应用的综合考查．