题目内容
【题目】已知函数,
.
()当
时,证明:
为偶函数;
()若
在
上单调递增,求实数
的取值范围;
()若
,求实数
的取值范围,使
在
上恒成立.
【答案】()证明见解析;(
)
;(
)
.
【解析】试题分析:(1)当时,
的定义域
关于原点对称,而
,说明
为偶函数;(2)在
上任取
、
,且
,则
恒成立,等价于
恒成立,可求得
的取值范围;(3)先证明不等式
恒成立,等价于
,即
恒成立,利用配方法求得
的最大值,即可得结果.
试题解析:()当
时,
,定义域
关于原点对称,
而,说明
为偶函数.
()在
上任取
、
,且
,
则,
因为,函数
为增函数,得
,
,
而在
上调递增,得
,
,
于是必须恒成立,
即对任意的
恒成立,
∴.
()由(
)、(
)知函数
在
上递减,
在上递增,其最小值
,
且,
设,则
,
,
于是不等式恒成立,等价于
,
即恒成立,
而,仅当
,
即时取最大值
,故
.
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