题目内容
已知函数(
、
为常数),在
时取得极值.
(1)求实数的取值范围;
(2)当时,关于
的方程
有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围;
(3)数列满足
(
且
),
,数列
的前
项和为
,
求证:(
,
是自然对数的底).
(1)且
;(2)
;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)求实数的取值范围,因为函数
在
时取得极值,故
在
有定义,得
,可对函数
求导得,
,则
是
的根,这样可得
的关系是,再由
的范围可求得
的取值范围;(2)当
时,关于
的方程
有两个不相等的实数根,求实数
的取值范围,当
时,由
得
,代入得
,对
求导,判断单调性,即可得函数
的最小值;(3)求证:
,即证
,因此需求出数列
的通项公式及前
项和为
,由数列
满足
(
且
),
,得
,即
,可求得
,它的前
项和为
不好求,由此可利用式子中出现
代换
,由(2)知
,令
得,
,
取
,叠加可证得结论.
试题解析:(1) ∵
在
有定义 ∴
∴是方程
的根,且不是重根
∴ 且
又 ∵
∴
且
4分
(2)时
即方程
在
上有两个不等实根
即方程在
上有两个不等实根
令
∴在
上单调递减,在
上单调递增
当时,
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