Question

【题目】如图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，AB=2，C是⊙O上一点，且AC=BC，PC与⊙O所在的平面成45°角，E是PC中点．F为PB中点．
（1）求证：EF∥面ABC；
（2）求证：EF⊥面PAC；
（3）求三棱锥B﹣PAC的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在三角形PBC中，

∵E是PC中点，F为PB中点，

∴EF∥BC，BC面ABC，EF面ABC，

∴EF∥面ABC

（2）证明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴BC⊥PA．

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC，

∴BC⊥面PAC

∵EF∥BC，BC⊥面PAC，

∴EF⊥面PAC

（3）解：∵PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，

∴∠PCA即为PC与面ABC所成角，

∴∠PCA=45°，PA=AC，

在Rt△ABC中，E是PC中点，

，

∴三棱锥B﹣PAC的体积

【解析】（1）在三角形PBC中，由E是PC中点，F为PB中点，知EF∥BC，由此能够证明EF∥面ABC．（2）由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，知BC⊥PA，再由AB是⊙O的直径，知BC⊥AC，故BC⊥面PAC，由此能够证明EF⊥面PAC．（3）因为PA⊥⊙O所在的平面，AC是PC在面ABC内的射影，所以∠PCA即为PC与面ABC所成角，故∠PCA=45°，PA=AC．由此能够求出三棱锥B﹣PAC的体积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．