题目内容
已知椭圆:
的离心率为
,右焦点为
,右顶点
在圆
:
上.
(Ⅰ)求椭圆和圆
的方程;
(Ⅱ)已知过点的直线
与椭圆
交于另一点
,与圆
交于另一点
.请判断是否存在斜率不为0的直线
,使点
恰好为线段
的中点,若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
(Ⅰ),
;(Ⅱ)不存在
解析试题分析:(Ⅰ)由圆方程可知圆心为
,即
,又因为离心率为
,可得
,根据椭圆中关系式
,可求
。椭圆方程即可求出。因为
,则右顶点为
,将其代入圆的方程可求半径
。(Ⅱ)设出直线方程
,然后和椭圆方程联立,消掉y(或x)得到关于x的一元二次方程。再根据韦达定理得出根与系数的关系。因为
是其中一个交点,所以方程的一个根为2。用中点坐标公式求点
的坐标,再将其代入圆
方程。解出
的值。若
则说明存在满足条件的直线
可求出其方程,若
,则说明不存在满足条件的直线
。法二:假设存在,由已知可得
,因为点
为线段
的中点,所以
,因为点
在椭圆上可推导得
,与
矛盾,故假设不成立。
试题解析:(Ⅰ)由题意可得, 1分
又由题意可得,
所以, 2分
所以, 3分
所以椭圆的方程为
. 4分
所以椭圆的右顶点
, 5分
代入圆的方程,可得
,
所以圆的方程为
. 6分
(Ⅱ)法1:
假设存在直线:
满足条件, 7分
由得
8分
设,则
, 9分
可得中点, 11分
由点在圆
上可得
化简整理得 13分
又因为