题目内容
已知椭圆C:
的离心率为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线
交椭圆C于A、B两点,试问：在y轴正半轴上是否存在一个定点M满足
,若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．
（I）
.（II）存在点
满足
.
解析试题分析：（I）利用椭圆的几何性质得
.
（II）通过研究
时，可知
满足条件，若所求的定点M存在，则一定是P点.
证明就是满足条件的定点.
将直线方程与椭圆方程联立并整理，应用韦达定理，将
用坐标表示，根据
得到使的点.
试题解析：（I）由题意得
，
2分
解得 3分
椭圆的方程为. 4分
（II）当时，直线
与椭圆交于两点的坐标分别为
，
设y轴上一点
,满足
, 即
，
∴
解得
或
（舍），
则可知满足条件，若所求的定点M存在，则一定是P点. 6分
下面证明就是满足条件的定点.
设直线交椭圆于点
,
.
由题意联立方程
8分
由韦达定理得，
9分
∴
11分
∴，即在y轴正半轴上存在定点满足条件. 12分
解法2：
设y轴上一点
,满足, 即，
5分
设直线交椭圆于点, .
由题意联立方程 7分
由韦达定理得， 8分
∴
10分
整理得，
由对任意k都成立，得
且
解得 11分
所以存在点满足. 12分
考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算.
练习册系列答案
相关题目
,若椭圆
的右顶点为圆
的圆心，离心率为
．
，使得直线
与椭圆
分别交于
两点，与圆
两点，点
在线段
上，且
，求圆
的取值范围．
轴、
轴上滑动，且
，点P在线段MN上，满足
，记点P的轨迹为曲线W．
的值的关系；
时，设A、B是曲线W与
中，已知过点
的椭圆
：
的右焦点为
，过焦点
且与
轴不重合的直线与椭圆
，
两点，点
，直线
，
分别交椭圆
于
，
两点.
，试求直线
，
，试问
是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
的左、右焦点分别为
、
，
为原点.
为椭圆
上的一点，
是
的中点，且
，求点
轴的距离；
与椭圆
、
两点，若在椭圆
，使四边形
为平行四边形，求
的取值范围．
,椭圆
以
的长轴为短轴,且与
,求直线
的方程.
：
的离心率为
，右焦点为
，右顶点
在圆
上. 
与椭圆
，与圆
.请判断是否存在斜率不为0的直线
的中点，若存在，求出直线
上一个动点，M为点P在y轴上的投影，动点Q满足
．
，交曲线C于A、B两点，且A、B同在以点D（0，1）为圆心的圆上，求直线l的方程。
，点
是点
关于
轴的对称点，过点
两点。
轴上是否存在不同于点
，使得
与
的面积为
，求向量
的夹角；