Question

已知圆M的方程为：x²＋y²－2x－2y－6＝0，以坐标原点为圆心的圆N与圆M相切．
(1)求圆N的方程；
(2)圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求·的取值范围；
(3)过点M作两条直线分别与圆N相交于A、B两点，且直线MA和直线MB的倾斜角互补，试判断直线MN和AB是否平行？请说明理由

Answer 1

圆M的方程可整理为：(x－1)²＋(y－1)²＝8，故圆心M(1,1)，半径R＝2.
(1)圆N的圆心为(0,0)，
因为|MN|＝＜2，所以点N在圆M内，
故圆N只能内切于圆M.
设其半径为r.
因为圆N内切于圆M，
所以有：|MN|＝R－r，
即＝2－r，解得r＝.
所以圆N的方程为
x²＋y²＝2.
(2)由题意可知：E(－，0)，F(，0)．
设D(x，y)，由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，
得|DO|²＝|DE|×|DF|，
即：×
＝x²＋y²，
整理得：x²－y²＝1.
而＝(－－x，－y)，
＝(－x，－y)，·
＝(－－x)(－x)＋(－y)(－y)＝x²＋y²－2＝2y²－1，由于点D在圆N内，故有，由此得y²＜，所以·∈[－1,0)．
(3)因为直线MA和直线MB的倾斜角互补，故直线MA和直线MB的斜率存在，且互为相反数，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为－k.故直线MA的方程为
y－1＝k(x－1)，
直线MB的方程为
y－1＝－k(x－1)，
由，
得(1＋k²)x²＋2k(1－k)x＋(1－k)²－2＝0.
因为点M在圆N上，故其横坐标x＝1一定是该方程的解，
可得x_A＝，
同理可得：x_B＝，
所以k_AB＝＝
＝
＝1＝k_MN.
所以，直线AB和MN一定平行

略