Question

【题目】已知椭圆的左,右顶点分别为右焦点为,直线是椭圆在点处的切线.设点是椭圆上异于的动点,直线与直线的交点为,且当时, 是等腰三角形.

（Ⅰ）求椭圆的离心率;

（Ⅱ）设椭圆的长轴长等于,当点运动时,试判断以为直径的圆与直线的位置关系,并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）以为直径的圆与直线相切.

解:（Ⅰ）根据题意,得直线与轴垂直,

当时, 是等腰三角形.

（Ⅱ）以为直径的圆与直线的位置关系是相切,证明如下:

椭圆C的长轴长等于,

根据（Ⅰ）,得椭圆的标准方程为: ,

设直线的方程为: ,

则点坐标为, 中点的坐标为,

联立方程组,消去,并整理,得

,

设点的坐标为,则

因为点,

（ⅰ）当时,点坐标为,直线的方程为,

点的坐标为,此时,以为直径的圆与直线相切;

（ⅱ）当时,直线的斜率为,

直线的方程为: ,

,

点到直线的距离为,

,

以为直径的圆与直线相切.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，结合给定的条件，得到，然后确定其离心率即可；
（Ⅱ）设直线的方程为: ,则点坐标为, 中点的坐标为,

联立方程组,消去,并整理,得,

分情况进行讨论，结合直线与圆相切的条件进行判断即可．

试题解析：（Ⅰ）根据题意,得直线与轴垂直,

当时, 是等腰三角形.

（Ⅱ）以为直径的圆与直线的位置关系是相切,证明如下:

椭圆C的长轴长等于,

根据（Ⅰ）,得椭圆的标准方程为: ,

设直线的方程为: ,

则点坐标为, 中点的坐标为,

联立方程组,消去,并整理,得

,

设点的坐标为,则

因为点,

（ⅰ）当时,点坐标为,直线的方程为,

点的坐标为,此时,以为直径的圆与直线相切;

（ⅱ）当时,直线的斜率为,

直线的方程为: ,

,

点到直线的距离为,

,

以为直径的圆与直线相切.