题目内容
【题目】如图,四边形是矩形,四边形
是梯形,
,平面
平面
,
, 点
是
的中点.
(1)求证:∥平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:第一问首先应用三角形的中位线的平行性质找到线线平行的关系,之后借助于线面平行的判定定理证得结果;第二问建立适当的空间直角坐标系,借助于平面的法向量所成角的余弦值,求得二面角的余弦值,在最后确定结果时需要判断法向量的方向,是其补角还是其本身.
详解:(1)证明:连结,交
于点
,∴点
是
的中点.
∵点是
的中点,∴
是△
的中位线. ∴
∵平面
,
平面
,∴
平面
(2)四边形
是梯形,
,
又四边形是矩形,
,
∵平面平面
,平面
平面
∴平面
以为原点,以
、
、
分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系,
∴,
,
,
,
∴,
,
.
设平面的法向量
,
∴
,
.
即
令,则
,
.∴可取
.
又是平面
的法向量,
∴
由图可知,二面角
为锐角.
∴二面角的余弦值是
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的60名学生,得到数据如下表:
喜欢统计课程 | 不喜欢统计课程 | 合计 | |
男生 | 20 | 10 | 30 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 30 | 60 |
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选3人,求恰有2个男生和1个女生的概率.
下面的临界值表供参考:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)