Question

函数f(x) 的定义域为R，且对任意x,y∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)，又
当x>0 时，f(x)＜0,且f(1)=－2.
（Ⅰ）求证：f(x) 既是奇函数又是R上的减函数；
（Ⅱ）求f(x)在[－3,3]的最大值和最小值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）f(x)在[-3,3]的最大值是6，最小值是-6

本试题主要是考查了函数的奇偶性和单调性的运用。
（1）证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)=f(0)，故∴f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x)即f(x) 是奇函数，并运用定义法证明单调性。
（2）∵f(x)在R上单调递减，
∴在[-3,3]的最大值为f（-3），最小值为f(3)从而得到。
解：（1）证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x)
即f(x)+f(-x)="f(0)" ………………………(2分)
∴f(0)+f(0)=f(0)即f(0)=0
∴f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x)即f(x) 是奇函数………………………(4分)
又任取且
∵则…………………（6分）
∵∴
∴，f(x)是R上的减函数………………………(8分)
（1）解答：∵f(x)在R上单调递减，
∴在[-3,3]的最大值为f（-3），最小值为f(3) ………………(9分)
由f(1)=-2得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6
又f(-3)=-f(3)=6……………(11分)
∴f(x)在[-3,3]的最大值是6，最小值是-6……………………(12分)