题目内容

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有 $数学公式$ 的导数小于零恒成立，则不等式 $数学公式$ 的解集是

A.
（一2，0）∪（2，+∞）
B.
（一2，0）∪（0，2）
C.
（-∞，-2）∪（2，+∞）
D.
（-∞，-2）∪（0，2）

D
分析：首先根据商函数求导法则，求出 $\text{[math]}$ 的导数 $\text{[math]}$ ；然后利用导函数的正负性，判断函数y= $\text{[math]}$ 在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则x²f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．
解答：由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
因为当x＞0时，有 $\text{[math]}$ ＜0恒成立，即[ $\text{[math]}$ ]′＜0恒成立，
∴y= $\text{[math]}$ 在（0，+∞）内单调递减，
∵f（2）=0，
∴在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴在（-∞，-2）内恒有f（x）＞0；在（-2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）．
点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断，注意转化思想的应用．