题目内容

已知数列具有性质:①为整数;②对于任意的正整数,当为偶数时,;当为奇数时,.
(1)若为偶数,且成等差数列,求的值;
(2)设(N),数列的前项和为,求证:
(3)若为正整数,求证:当(N)时,都有.

(1) 0或2;(2)证明见试题解析;(3)证明见试题解析.

解析试题分析:(1)根据数列具有性质,为偶数,要,这时要求,必须讨论的奇偶性,分类讨论;(2)要证不等式,最好能求出,那么也就要求出数列的各项,那么我们根据数列定义,由为奇数,则为奇数,为偶数,接下来各项都是偶数,一起到某项为1,下面一项为0,以后全部为0.实际上项为1的项是第项(成等比数列),故可求;(3)由于是正整数,要证明从某一项开始,数列各项均为0,这提示我们可首先证明为非负(这可用数学归纳法加以证明),然后由于数列的关系,可见数列在出现0之前,是递减的,下面要考虑的是递减的速度而已.当为偶数时,;当为奇数时,,因此对所有正整数,都有,依此类推有,只要,则有
试题解析:(1)∵为偶数,∴可设,故
为偶数,则,由成等差数列,可知
,解得,故;   (2分)
为奇数,则,由成等差数列,可知
,解得,故
的值为0或2.     (4分)
(2)∵是奇数,∴
,依此类推,
可知成等比数列,且有

∴当时,;当时,都有.       (3分)
故对于给定的的最大值为

,所以. (6分)
(3)当为正整数时,必为非负整数.证明如下:
时,由已知为正整数, 可知为非负整数,故结论成立;
假设当时,为非负整数,若

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