题目内容

已知数列的前n项和为,且满足.
(1)求数列的通项公式
(2)设为数列{}的前n项和,求
(3)设,证明:.

(1)  (2)  (3)见解析

解析试题分析:
(1)当带入式子结合即可得到的值,当时,利用的关系()即可得到是一个常数,即可得到数列为等差数列,但是需要验证是否符合,进而证明为等差数列,即可求的通项公式.
(2)把(1)中得到的的通项公式带入可得,即为等差数列与等比数列的乘积,故需要利用错位相减法来求的前n项和.
(3)把(1)得到的带入,观察的通项公式为分式,为求其前n项和可以考虑利用裂项求和法.进行裂项,在进行求和就可以得到的前n项和为,利用非负即可证明原不等式.
试题解析:
(1)由题意,当时,有,     (1分)
两式相减得 即.           (2分)
,得.
所以对一切正整数n,有,                        (3分)
,即.                (4分)
(2)由(1),得
所以 ①                           (5分)
①两边同乘以,得 ②          (6分)
①-②,得,                 (7分)
所以,                                    (8分)
.                    (9分)
(3)由(1),得 (12分)

                  (13分)
.              (14分)
考点:裂项求和 错位相减 不等式

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