题目内容
已知数列的前n项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列{}的前n项和,求;
(3)设,证明:.
(1) (2) (3)见解析
解析试题分析:
(1)当带入式子结合即可得到的值,当时,利用与的关系()即可得到是一个常数,即可得到数列为等差数列,但是需要验证是否符合,进而证明为等差数列,即可求的通项公式.
(2)把(1)中得到的的通项公式带入可得,即为等差数列与等比数列的乘积,故需要利用错位相减法来求的前n项和.
(3)把(1)得到的带入,观察的通项公式为分式,为求其前n项和可以考虑利用裂项求和法.进行裂项,在进行求和就可以得到的前n项和为,利用非负即可证明原不等式.
试题解析:
(1)由题意,当时,有, (1分)
两式相减得 即. (2分)
由,得.
所以对一切正整数n,有, (3分)
故,即. (4分)
(2)由(1),得,
所以 ① (5分)
①两边同乘以,得 ② (6分)
①-②,得, (7分)
所以, (8分)
故. (9分)
(3)由(1),得 (12分)
(13分)
. (14分)
考点:裂项求和 错位相减 不等式
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