Question

9．直线x-2y+2=0经过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞0，b＞0）的两个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知抛物线D：y=x²+$\frac{1}{4}$，点M在抛物线D上运动，直线l：y=x+m（m∈[-$\sqrt{2}$，-1]）交椭圆C于点N，P，求△MNP面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为（-2，0），（0，1），即可得出a，b，可得椭圆方程．
（2）对于确定的一条直线l，作与l平行且与抛物线相切的直线n，直线n与抛物线相切的切点为M，此时△MNP面积为最小．设直线n的方程为：y=x+n，与椭圆方程联立得到：${x}^{2}-x-n+\frac{1}{4}$=0，令△=0，解得n=0．直线l与直线n的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{-m}{\sqrt{2}}$．由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得：5x²+8mx+4m²-4=0，设N（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．利用根与系数的关系可得|NP|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．S_△MNP=$\frac{1}{2}$|NP|•d，根据m的取值范围即可得出．

解答 解：（1）直线x-2y+2=0与坐标轴的交点为（-2，0），（0，1），
∴a=2，b=1．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）对于确定的一条直线l，作与l平行且与抛物线相切的直线n，直线n与抛物线相切的切点为M，此时△MNP面积为最小．
设直线n的方程为：y=x+n，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+n}\\{y={x}^{2}+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，得到：${x}^{2}-x-n+\frac{1}{4}$=0，
则△=1-4$（\frac{1}{4}-n）$=0，解得n=0．
直线l与直线n的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{-m}{\sqrt{2}}$．
设N（x₁，y₁），P（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得：5x²+8mx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$．
则|NP|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{2[64{m}^{2}-20（4{m}^{2}-4）]}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-{m}^{2}}$．
∴S_△MNP=$\frac{1}{2}$|NP|•d=$\frac{1}{2}•$$\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-{m}^{2}}$×$\frac{-m}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5{m}^{2}-{m}^{4}}$
=$\frac{2}{5}\sqrt{-（{m}^{2}-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{25}{4}}$，
∵$m∈[-\sqrt{2}，-1]$，∴m²∈[1，2]．
∴当m²=1时，（S_△MNP）=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与抛物线相切问题、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．