题目内容

(本题12分)已知中心为坐标原点O,焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点所组成的四边形是面积为2的正方形,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆交于点A,B,当△OAB面积最大时,求直线l的方程。
(1)
(2)
设椭圆方程为
(1)由已知得
∴所求椭圆的标准方程为
(2)根据题意可知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为

由方程组消去y得关于x得:方程(1+2k2)x2+8kx+6=0,
由直线l与椭圆相交于A,B两点,则有
△ 
由韦达定理得:


又因为原点O到直线l的距离,


当且仅当m=2时,,此时
∴直线l的方程为,或.
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