题目内容
【题目】设函数f(x)＝alnx－bx2(x＞0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－
相切。
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在
上的最大值。
【答案】（1）
.
（2）f(x)max＝
.
【解析】
分析：（1）对f(x)进行求导
， 欲求出切线方程，只需求出其斜率即可，故先利用导数求出在
处的导数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，列出关于a，b的方程求解即可；
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值.
详解：(1)f′(x)＝
－2bx，
∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－
相切，
∴
解得
(2)由(1)知，f(x)＝lnx－x2，f′(x)＝
－x＝
，
当
≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1，
令f′(x)<0，得1<x≤e，
∴f(x)在[，1)上是增加的，在(1，e]上是减少的，
∴f(x)max＝f(1)＝－
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