题目内容
2.若存在x∈[1,3],使得lnx+ax≥0成立,则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{e}$,+∞).分析 存在x∈[1,3],使得lnx+ax≥0成立等价于存在x∈[1,3],使得a≥-$\frac{lnx}{x}$成立,构造函数设f(x)=-$\frac{lnx}{x}$,x∈[1,3],求出函数f(x)的最小值即可.
解答 解:存在x∈[1,3],使得lnx+ax≥0成立,
等价于存在x∈[1,3],使得a≥-$\frac{lnx}{x}$成立,
设f(x)=-$\frac{lnx}{x}$,x∈[1,3],
∴a≥f(x)min,
∴f′(x)=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$,
令f′(x)=0,解得x=e,
当f′(x)>0,解得e<x≤3,函数单调递增,
当f′(x)>0,解得1≤x<e,函数单调递减,
所以当x=e时,函数有最小值,f(e)=-$\frac{1}{e}$,
所以a≥-$\frac{1}{e}$,
故答案为:[-$\frac{1}{e}$,+∞).
点评 本题考查了导数和函数的最值的关系,以及存在性问题,培养了化归思想想,属于中档题.

练习册系列答案
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13.设变量x,y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥-1}\\{x+y≥1}\\{3x-y≤3}\end{array}\right.$,则w=4x+y的最大值为( )
A. | 4 | B. | 11 | C. | 12 | D. | 14 |
7.数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2015=( )
A. | 1 | B. | -1 | C. | -2 | D. | 2 |
11.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是( )


A. | $\left\{\begin{array}{l}x-y-2<0\\ x+2y-4>0\\ x≥0\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}x-y-2<0\\ x+2y-4<0\\ x≥0\end{array}\right.$ | ||
C. | $\left\{\begin{array}{l}x-y-2>0\\ x+2y-4<0\\ x≥0\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}x-y-2>0\\ x+2y-4>0\\ x≥0\end{array}\right.$ |