题目内容

2.若存在x∈[1,3],使得lnx+ax≥0成立,则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{e}$,+∞).

分析 存在x∈[1,3],使得lnx+ax≥0成立等价于存在x∈[1,3],使得a≥-$\frac{lnx}{x}$成立,构造函数设f(x)=-$\frac{lnx}{x}$,x∈[1,3],求出函数f(x)的最小值即可.

解答 解:存在x∈[1,3],使得lnx+ax≥0成立,
等价于存在x∈[1,3],使得a≥-$\frac{lnx}{x}$成立,
设f(x)=-$\frac{lnx}{x}$,x∈[1,3],
∴a≥f(x)min
∴f′(x)=$\frac{lnx-1}{{x}^{2}}$,
令f′(x)=0,解得x=e,
当f′(x)>0,解得e<x≤3,函数单调递增,
当f′(x)>0,解得1≤x<e,函数单调递减,
所以当x=e时,函数有最小值,f(e)=-$\frac{1}{e}$,
所以a≥-$\frac{1}{e}$,
故答案为:[-$\frac{1}{e}$,+∞).

点评 本题考查了导数和函数的最值的关系,以及存在性问题,培养了化归思想想,属于中档题.

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