题目内容
(本小题满分12分)已知的两顶点坐标,,圆是的内切圆,在边,,上的切点分别为,(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设直线与曲线的另一交点为,当点在以线段为直径的圆上时,求直线的方程.
(1);(2)直线的方程或.
解析试题分析:本题主要考查椭圆的第一定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何意义、直线的方程、向量垂直的充要条件等基础知识,考查用代数法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,利用圆外一点到圆的两条切线段长相等,转化边,得到,所以判断出曲线是以为焦点,长轴长为的椭圆(挖去与轴的交点),利用已知求出椭圆标准方程中的基本量;第二问,根据已知设出直线的方程,直线与曲线联立,消参得关于的方程,求出方程的2个根,并且写出两根之和两根之积,因为点在以为直径的圆上,所以只需使,解出参数从而得到直线的方程.
试题解析:⑴解:由题知
所以曲线是以为焦点,长轴长为的椭圆(挖去与轴的交点),
设曲线:,
则,
所以曲线:为所求. 4分
⑵解:注意到直线的斜率不为,且过定点,
设,
由
消得,所以,
所以 8分
因为,所以
注意到点在以为直径的圆上,所以,即,-----11分
所以直线的方程或为所求.------12分
考点:1.椭圆的第一定义;2.椭圆的标准方程;3.直线与椭圆的位置关系;4.韦达定理;5.向量垂直的充要条件.
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