题目内容

已知两点,点在以为焦点的椭圆上,且构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线与椭圆有且仅有一个公共点,点是直线上的两点,且
. 求四边形面积的最大值.

(1);(2)

解析试题分析:(1)确定椭圆标准方程 ,先定位后定量.由等差中项得,根据椭圆定义,得,又,所以可求,由椭圆焦点在轴,写出椭圆方程;(2)将直线方程和椭圆方程联立,并利用列方程,得的等式,求四边形面积的最大值,关键在于建立关于面积的目标函数,然后确定函数的最大值即可,分讨论,当时,结合平面几何知识,得(其中表示两焦点到直线的距离),再结合得关于的函数,并求其范围;当时,该四边形是矩形,求其面积,从而确定的范围,进而确定最大值.
题解析:(1)依题意,设椭圆的方程为
构成等差数列,


椭圆的方程为
(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中,得,由直线与椭圆仅有一个公共点知,,化简得:
,  (法一)当时,设直线的倾斜角为,则,  

时,.当时,四边形是矩形,.所以四边形面积的最大值为
(法二)


四边形

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