Question

20．已知：$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），其中0≤α≤β≤2π，设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，下列判断有：
①|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|$＞\sqrt{3}$?θ∈（$\frac{2π}{3}$，π）；
②若$α+β=\frac{π}{6}$，记f（α）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，则将f（α）的图象保持纵坐标不变，横坐标向左平移$\frac{π}{6}$单位后得到的函数是偶函数；
③若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）$∥\overrightarrow{b}$，且（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）∥$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{c}≠\overrightarrow{0}$），则$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$
④已知$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$θ=\frac{2}{3}π$，C在以O为圆心的圆AB上运动，且满足$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，（x，y∈R），则x+y∈[1，2]；
上述命题正确的有①③④．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），可得|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos（α-β）=cosθ．
利用数量积的性质可及向量夹角公式即可，可判断①；根据平移后函数的定义域不对称，可判断②；根据已知判断$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$是否成立，可判断③；根据已知求出x+y的范围，可判断④．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ）
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosα•cosβ+sinα•sinβ=cos（α-β）=cosθ．
对于①|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|$＞\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²＞3，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜-$\frac{1}{2}$，
∴-1≤cosθ＜-$\frac{1}{2}$．
∴θ∈（$\frac{2π}{3}$，π]，故正确．
对于②：∵$α+β=\frac{π}{6}$，
∴f（α）=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2cos（α-β）=2cos（2α-$\frac{π}{6}$），
由0≤α≤β≤2π，可得：0≤α＜$\frac{π}{12}$，将f（α）的图象保持纵坐标不变，横坐标向左平移$\frac{π}{6}$单位后得到的函数g（α）=2cos（2α+$\frac{π}{6}$）不是偶函数，因为其定义域关于原点不对称，故错误；
对于③：∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）∥$\overline{b}$，且（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）∥$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{c}≠\overrightarrow{0}$），
∴$\overrightarrow{c}$∥（$\overline{b}$-$\overrightarrow{a}$），$\overrightarrow{c}$∥（$\overrightarrow{a}$-$\overline{b}$），因此$\overrightarrow{a}$+$\overline{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，故正确．
对于④：∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$θ=\frac{2}{3}π$，
C在以O为圆心的圆弧$\widehat{AB}$上运动，不妨取α=0，β=$\frac{2π}{3}$．
建立如图所示的直角坐标系．
A（1，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵满足$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=（x-$\frac{1}{2}$y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y），
∴x²+y²-xy=1．
当x=1，y=0或x=0，y=1时，x+y=1，取得最小值；
当x=y=1时，x+y=2取得最大值．
则x+y∈[1，2]，因此正确．
综上可得：只有①③④正确．
故答案为：①③④

点评 本题综合考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、向量共线定理、共面向量基本定理，函数的奇偶性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．