Question

2．函数y=$\frac{cosx}{\sqrt{1-si{n}^{2}x}}$+$\frac{\sqrt{1-co{s}^{2}x}}{sinx}$的值域为{2，0，-2}．

Answer 1

分析 化简原函数得$y=\frac{cosx}{|cosx|}+\frac{|sinx|}{sinx}$，分别讨论x在第一，二，三，四象限，从而求出对应的y值，这便可得出原函数的值域．

解答 解：$y=\frac{cosx}{\sqrt{1-si{n}^{2}x}}+\frac{\sqrt{1-co{s}^{2}x}}{sinx}$=$\frac{cosx}{|cosx|}+\frac{|sinx|}{sinx}$；
x为第一象限角时，|cosx|=cosx，|sinx|=sinx，∴y=1+1=2；
x为第二象限角时，|cosx|=-cosx，|sinx|=sinx，∴y=-1+1=0；
x为第三象限角时，|cosx|=-cosx，|sinx|=-sinx，∴y=-1-1=-2；
x为第四象限角时，|cosx|=cosx，|sinx|=-sinx，∴y=1-1=0；
∴原函数的值域为{2，0，-2}．
故答案为：{2，0，-2}．

点评 考查函数值域的概念，sin²x+cos²x=1，正余弦函数在各象限的符号，列举法表示集合．