Question

11．已知三棱锥P-ABC如图所示，平面PAC⊥平面ABC，正三角形ABC的面积为9$\sqrt{3}$，PC=4，PA=2$\sqrt{13}$，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{43}$
• B． $\sqrt{43}$
• C． $\sqrt{11}$
• D． 2$\sqrt{11}$

Answer 1

分析 由点到直线的垂线段最短可知，当M是AB的中点时，PM的长最小，解得即可．

解答 解：当M是AB的中点时，PM的长最小．
∵正三角形ABC的面积为9$\sqrt{3}$，
∴正三角形ABC的边长为6，
∵PC=4，PA=2$\sqrt{13}$，
∴4²+6²=（2$\sqrt{13}$）²，
∴∠PCA=90°
∵取AB的中点M，连结CM、PM，
由平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°得，PC⊥平面ABC，∴AB⊥PC，
又△ABC是边长为6的正三角形，PC=4，∴AB⊥CM，
∵PC∩CM=C，∴AB⊥平面PCM，∴AB⊥PM，
故此时PM的长最小．
∵△ABC是边长为6的正三角形，PC=4，
∴CM=3$\sqrt{3}$，PM=$\sqrt{27+16}$=$\sqrt{43}$．
故选B．

点评 本题主要考查面面垂直的性质及线面垂直的判定，考查点到直线的垂线段最短等知识，属于中档题．