Question

20．设空间两个单位向量$\overrightarrow{OA}$=（m，n，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，n，p）与向量$\overrightarrow{OC}$=（1，1，1）的夹角都等于$\frac{π}{4}$，求cos∠AOB的值．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$=|$\overrightarrow{OC}$|$•|\overrightarrow{OA}|$$•cos\frac{π}{4}$=$\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$=m+n，${\overrightarrow{OA}}^{2}={m}^{2}+{n}^{2}=1$，由此能求出n²，再由cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=n²，能求出cos∠AOB．

解答 解：∵两个单位向量$\overrightarrow{OA}$=（m，n，0），$\overrightarrow{OB}$=（0，n，p）与向量$\overrightarrow{OC}$=（1，1，1）的夹角都等于$\frac{π}{4}$，
∴$∠AOC=∠BOC=\frac{π}{4}$，|$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$=|$\overrightarrow{OC}$|$•|\overrightarrow{OA}|$$•cos\frac{π}{4}$=$\sqrt{3}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$=m+n，${\overrightarrow{OA}}^{2}={m}^{2}+{n}^{2}=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=\frac{\sqrt{6}}{2}}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\{{n}^{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\\{{n}^{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=n²，
∴cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=n²，
∴cos∠AOB=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$或cos∠AOB=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、向理夹角余弦值的坐标运算公式的合理运用．