Question

3．如图所示，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BA⊥AD，AD=CD=2AB=2PA=2，AB∥CD，E是PC的中点，F是DC上一动点，R是PB上一个动点．
（1）求证：当F是DC中点时，无论R在PB上的何处，都有平面BEF⊥平面RCD；
（2）若CF=2DF，当DR∥平面EFB时，求四棱锥R-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD得PA⊥CD，由BA⊥AD，AB∥CD得CD⊥AD，故CD⊥平面PAD，推出CD⊥PD，又EF∥PD，从而CD⊥EF；由F为CD中点可易证四边形ABFD是矩形，得到CD⊥BF，于是CD⊥平面EBF．所以平面BEF⊥平面RCD；
（2）连结CR交BE于H，连结FH，则由DR∥平面EFB得FH∥DR，推出$\frac{CH}{HR}=\frac{CF}{FD}$=2，故H是△PBC的重心，即R为PB中点，于是V_{四棱锥R-ABCD}=$\frac{1}{2}$V_{四棱锥P-ABCD}．

解答 证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵BA⊥AD，AB∥CD，
∴CD⊥AD，
又∵AD?平面PAD，PA?平面PAD，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，
∴CD⊥PD，
∵EF是△PCD的中位线，∴EF∥PD，
∴CD⊥EF，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD=DF，BA⊥AD，
∴四边形ABFD是矩形，
∴CD⊥BF，∵BF?平面BEF，EF?平面BEF，BF∩EF=F，
∴CD⊥平面BEF，∵CD?平面RCD，
∴平面BEF⊥平面RCD．
（2）连结CR交BE于H，连结FH，
∵DR∥平面EFB，DR?平面RDC，平面RDC∩平面BEF=FH，
∴FH∥DR，
∴$\frac{CH}{HR}=\frac{CF}{FD}$=2，∵BE是△PBC的中线，
∴H是△PBC的重心，即R为PB中点，
∴V_{四棱锥R-ABCD}=$\frac{1}{2}$V_{四棱锥P-ABCD}=$\frac{1}{2}$$•\frac{1}{3}$•S_梯形ABCD•PA=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}$•（1+2）•2•1=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定和几何体的体积，寻求R到底面的距离与PA的比例关系是关键．