题目内容

已知函数f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R.
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
(1) f(x)=f(e)=e-e-1.
(2) 满足条件的a的取值范围是(-,1)

试题分析:
当x∈[1,e]时,f(x)=x-x-lnx,f′(x)=2x-1-=>0,
所以f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x)=f(e)=e-e-1.             4分
(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+). 由f(x)>0,得|x-a|>.      *
(i)当x∈(0,1)时,|x-a|≥0, <0,不等式*恒成立,
所以a∈R;                                                      5分
(ii)当x=1时,|1-a|≥0,=0,所以a1;                      6分
(iii)当x>1时,不等式*恒成立等价于a<x-恒成立或a>x+恒成立.
令h(x)=x-,则h′(x)=.
因为x>1,所以h′(x)>0,从而h(x)>1.
因为a<x-恒成立等价于a<(h(x)),所以a≤1.
令g(x)=x+,则g′(x)=.再令e(x)=x+1-lnx,则e′(x)=2x->0在x∈(1,+)上恒成立,e(x)在x∈(1,+)上无最大值.               11分
综上所述,满足条件的a的取值范围是(-,1).                  12分
点评:主要是考查了导数在研究函数中的运用,运用导数判定函数单调性以及函数的最值,属于基础题。
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网