题目内容
已知函数=+,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,)上单调递减,在(,上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,)上单调递减,在(,上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(1)①当a<0时,函数的单调增区间为(,0),(0,);
②当0<a<1时,函数的单调增区间为,0),(0,;
③当a>1时,函数的单调增区间为,),(,.
⑵=+( x≠0).
⑶y=及y=
②当0<a<1时,函数的单调增区间为,0),(0,;
③当a>1时,函数的单调增区间为,),(,.
⑵=+( x≠0).
⑶y=及y=
(1)①当a<0时,函数的单调增区间为(,0),(0,);
②当0<a<1时,函数的单调增区间为,0),(0,;
③当a>1时,函数的单调增区间为,),(,.
(2)由题设及(1)中③知=,且a>1,解得a=3,因此函数解析式为=+( x≠0).
(3)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴,显然x,y轴不是曲线C的对称轴,故可设l:y=kx(k≠0).
设P(p,q)为曲线C上的任意一点,与P(p,q)关于直线l对称,且p≠,q≠,则也在曲线C上,由此得=,=,且q=+,=+,整理得k=,解得k=或k=.
所以存在经过原点的直线y=及y=为曲线C的对称轴.
②当0<a<1时,函数的单调增区间为,0),(0,;
③当a>1时,函数的单调增区间为,),(,.
(2)由题设及(1)中③知=,且a>1,解得a=3,因此函数解析式为=+( x≠0).
(3)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴,显然x,y轴不是曲线C的对称轴,故可设l:y=kx(k≠0).
设P(p,q)为曲线C上的任意一点,与P(p,q)关于直线l对称,且p≠,q≠,则也在曲线C上,由此得=,=,且q=+,=+,整理得k=,解得k=或k=.
所以存在经过原点的直线y=及y=为曲线C的对称轴.
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