题目内容
已知函数
=
+
,a≠0且a≠1.
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
)上单调递减,在(
,
上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.



(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,



(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(1)①当a<0时,函数
的单调增区间为(
,0),(0,
);
②当0<a<1时,函数
的单调增区间为
,0),(0,
;
③当a>1时,函数
的单调增区间为
,
),(
,
.
⑵
=
+
( x≠0).
⑶y=
及y=



②当0<a<1时,函数



③当a>1时,函数





⑵



⑶y=


(1)①当a<0时,函数
的单调增区间为(
,0),(0,
);
②当0<a<1时,函数
的单调增区间为
,0),(0,
;
③当a>1时,函数
的单调增区间为
,
),(
,
.
(2)由题设及(1)中③知
=
,且a>1,解得a=3,因此函数解析式为
=
+
( x≠0).
(3)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴,显然x,y轴不是曲线C的对称轴,故可设l:y=kx(k≠0).
设P(p,q)为曲线C上的任意一点,
与P(p,q)关于直线l对称,且p≠
,q≠
,则
也在曲线C上,由此得
=
,
=
,且q=
+
,
=
+
,整理得k
=
,解得k=
或k=
.
所以存在经过原点的直线y=
及y=
为曲线C的对称轴.



②当0<a<1时,函数



③当a>1时,函数





(2)由题设及(1)中③知





(3)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴,显然x,y轴不是曲线C的对称轴,故可设l:y=kx(k≠0).
设P(p,q)为曲线C上的任意一点,

















所以存在经过原点的直线y=



练习册系列答案
相关题目