Question

【题目】在四棱锥中，为正三角形，平面平面，E为的中点，，，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点M，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）在棱上存在点M满足题意，．

【解析】

（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可证得平面，由面面垂直的判定定理证得结论；

（Ⅱ）取中点，可证得两两互相垂直，由此以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果；

（Ⅲ）假设存在点满足题意，由线面垂直的性质可知，，由此得到，解出后即可得到结果.

（Ⅰ），，，

平面平面，平面底面，平面，

平面，又平面，平面平面.

（Ⅱ）取中点，连接，

分别为中点，，平面；

为等边三角形，为中点，，

平面平面，平面底面，平面，

平面，

则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，令，则，，，

设直线与平面所成角为，.

即直线与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）假设在棱上存在点，使得平面，则，，

设，又，，

，，

，解得：，即，

在棱上存在点，使得平面，此时.