Question

5．己知f（x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$．
（1）解不等式0≤f（x）≤1；
（2）是否存在m∈R使关于x的方程f（2^x）=-x+log₂m有实根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由0≤f（x）≤1得1≤$\frac{1-x}{1+x}$≤2，解出即可；
（2）假设存在符合条件的m，由方程得出log₂m=f（2^x）+x=log₂$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$+x，即m=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$+2^x．令g（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$+2^x，求出g（x）的值域即为m的取值范围．

解答 解：∵0≤f（x）≤1，
即 0≤$lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$≤1，
∴1≤$\frac{1-x}{1+x}$≤2，
解得：-$\frac{1}{3}$≤x≤0．
（2）f（2^x）=log₂$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，
令$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$＞0得2^x＜1，
∴x＜0．
假设存在m∈R使关于x的方程f（2^x）=-x+log₂m有实根，
则log₂m=f（2^x）+x=log₂$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$+x．
令2^x=t，则0＜t＜1，x=log₂t．
∴log₂m=log₂$\frac{1-t}{1+t}$+log₂t=log₂$\frac{-{t}^{2}+t}{1+t}$．
∴m=$\frac{-{t}^{2}+t}{1+t}$．
令g（t）=$\frac{-{t}^{2}+t}{1+t}$，则g′（t）=$\frac{-{t}^{2}-2t+1}{（t+1）^{2}}$．
令g′（t）=$\frac{-{t}^{2}-2t+1}{（t+1）^{2}}$=0得t=$\sqrt{2}$-1或t=-$\sqrt{2}$-1（舍）．
当0＜t＜$\sqrt{2}$-1时，g′（t）＞0；当$\sqrt{2}$-1＜t＜1时，g′（t）＜0，
∴当t=$\sqrt{2}-1$时，g（t）取得最大值，g_max（t）=g（$\sqrt{2}-1$）=3-2$\sqrt{2}$，
当t=0或t=1时，g（t）取得最小值g_min（t）=g（0）=0．
∴m的取值范围是（0，3-2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了对数函数的单调性应用，方程根的判断，属于中档题．